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随着参数μ和σ变化，机率分布也产生变化 。特徵函式对机率密度函式作傅立叶变换可得特徵函式 。

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特徵函式与机率密度函式有一对一的关係 。因此知道一个分布的特徵函式就等同于知道一个分布的机率密度函式 。套用随机变数X的n阶矩是X的n次方的数学期望，即

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X的方差为

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更广泛的说，设g为一个有界连续函式，那幺随机变数g(X)的数学期望为：

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