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（
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） 。作前n 个随机变数的算术平均，记为
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即
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，则对于任意正数
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，恆有
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式中，
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是一个随机事件，等式表明，当
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时，这个事件的机率趋于1，即对于任意正数
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，当n 充分大时，不等式
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几乎都是成立的 。通常我们称序列
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依机率收敛于
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。一般地，设
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为一个随机变数序列，a 是一个常数，若对于任意正数
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都有
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则称随机变数序列
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依机率收敛于a。定理1 表明，当n 很大时，随机变数
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的算术平均
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接近于数学期望
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,这种接近是机率意义下的接近 。证明方法这个大数定律的证明确实有几种不同的方法 。最早的证明是由数学大师Kolmogorov给出的 。Durrett (2010)的书上用的是Etemadi (1981)的方法，需要截断X，用到现代机率论的知识如Borel-Cantelli引理、Kolmogorov三级数定理、Fubini定理等 。（感谢读者指出，Durrett的书在倒向鞅一章中给出了大数定律的倒向鞅方法证明，只需要用到倒向鞅的知识和Hewitt-Savage 0-1律，不过这也是现代机率论的知识 。）此外，还有很多不同的大数定律，不同分布的，不独立的序列等 。定律也不一定是关于随机变数的，也可以是关于随机函式的，甚至随机集合的等等 。以数学家命名的也有Khinchin大数定律(不独立序列的强大数定律)、Chebyshev大数定律(弱大数定律(1))、Poisson大数定律(不同机率的随机事件序列的大数定律)、Bernoulli大数定律(随机事件的大数定律)、Kolmogorov大数定律(强大数定律(6))等等……中心极限定理定理2 （同分布的中心极限定理）设随机变数
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相互独立，服从同一分布并且具有有限的数学期望和方差，
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,
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则随机变数