半模格 _生活百科

半模格格论是代数学的一个分支，19世纪，数学家George Boole，Charles S.Peirce和Ernst Schroder等推动了它的产生与发展。
半模格也叫做“次模格”，是指可以用维函式刻画的一类重要格。
【半模格】格的实际例子的一项重要来源就是基于考虑把各种各样的点集、线集和平面集等看做几何结构，例如，我们从投影发生率几何学中发现了完备模格；平面格或者几何闭子空间。半模格最初源于满足一个特定性质的闭运算元，这个性质现在叫做Steinitz-Mac Lane交换性质。
基本介绍中文名：半模格
外文名：Semimodular lattice
领域：数学
提出者：伯克霍夫
别名：次模格
分类：上半模格、下半模格
人物简介伯克霍夫，美国数学家。生于普林斯顿，早年在哈佛大学和英国剑桥大学就读，1932年获哈佛大学学士学位，后获理学博士学位.1936年起，任教于哈佛大学，1938—1941年，为助理教授，1941—1946年，为副教授，1946—1982年，任数学教授，1982年退休。美国全国科学院、美国艺术与科学学院院士。1958年，任美国数学会副主席；1971—1972年，任美国数学协会副主席；1967—1968年，任美国工业与套用数学会主席。伯克霍夫的工作涉及格论、近世代数、核反应堆理论的流体动力学、声学、偏微分方程的数值解，以及科学计算。他曾和菲力普斯(Phillips，R.S.)定义了取值于局部凸拓扑线性空间的函式的积分。他在1940年出版的《格论》，经重新组织并增扩内容于1967年出版了第三版，除全面阐述了有关理论外，还介绍了格论在分析、集合论(包括拓扑和测度论)等方面的套用，还涉及了有序系统及二进制运算等。他在把代数方法以及其他一些高水準的数学方法套用到别的科学领域方面有重要贡献，并因此曾于1978年获美国数学会G.D.伯克霍夫套用数学奖。他一生髮表学术论文近200篇，着有《流体动力学》(1950)、《椭圆方程的数值解》(1971)、《近世代数概论》(1941，与麦克莱恩(MacLane，S.)合着)和《代数》(1967)等专着。格“格”一种特殊的偏序集。在许多数学对象中，所考虑的元素之间具有某种顺序。一组实数间的大小顺序；一个集合的诸子集（或某些子集）间按（被包含）所成的顺序；一组命题间按蕴涵所成的顺序；等等。这种顺序一般不是全序，即不是任意二元素间都能排列顺序，而是在部分元素间的一种顺序即偏序（半序）。偏序集和格就是研究顺序的性质及作用而产生的概念和理论。格论在代数学、射影几何学、集合论、数理逻辑、泛函分析以及机率论等许多数学分支中都有套用。例如，在代数学中，对于一个群G与其子群格（G）之间关系的研究。在数理逻辑中，关于不可解度的研究。格的定义：设（L，≤）是偏序集，若L中任意两个元素都存在上确界以及下确界，则称（L，≤）是格（lattice），为了方便，这样的格成为偏序格。格h格设(L，£)是一个偏序集，如果对于"a,bÎL，L的子集{a,b}在L中都有一个最大下界(记为inf{a,b})和一个最小上界(记为sup{a,b})，则称(L，£)是一个偏序格。子集在L中有上确界和下确界的偏序集，就是格。h代数格在L定义二元运算*和·，满足：对"a,b,cÎL,有(1) 交换律 a*b=b*a，a·b=b·a(2)结合律(a*b)*c=a*(b*c) , (a·b)·c=a·(b·c)(3) 吸收律 a*(a·b)=a，a·(a*b)=a则称(L，*，·)是代数格，用代数的语言，格就是在非空集合上定义了两个满足结合律、交换律和吸收律的运算。维函式维函式亦称高函式。序与格的基本概念之一。设P是有最小元0的有限长偏序集，x是P中的元素，0与x之间极大链的长的最小上界称为x的维函式，记为h(x)；若P有泛界1，则h(1)=l(P)，即1的高等于偏序集P的长。概念半模格也叫做“次模格”，是指可以用维函式刻画的一类重要格。设L是有限长格，若L满足条件：(ξ)：若a≠b，且a，b都覆盖a∧b，则a∨b覆盖a和b，则称L为上半模格。若L满足条件：(ξ′)：若a≠b，且a∨b覆盖a和b，则a，b都覆盖a∧b，则称L为下半模格，其中a，b∈L 。通常将上半模格和下半模格统称半模格。更一般地，若L是格，则L是半模格的充分必要条件是，对任意a，b∈L，由aMb得bMa；对偶地，L是下半模格的充分必要条件是对任意a，b∈L，由aM*b得bM*a 。伯克霍夫(Birkhoff，G.D.)首先考虑了半模格；迪尔沃思(Dilworth，R.P.)证明：每一个有限格一定与一个半模格的某一子格同构。若L是有限长的格，对任意a，b，c∈L，则下述条件等价：1.L是上半模格。2.b覆盖a，有b∨c覆盖a∨c或b∨c=a∨c 。3.h[a]+h[b]≥h[a∧b]+h[a∨b]，其中h[x]是高函式。发展历史任何抽象的理论都来源于实际的例子，格论也不例外。最初研究格论是基于考虑把各种各样的点集合、线集、平面集等做成几何结构。例如，我们从投影发生率化何学中得到了完备模格；平面格或者几何闭子空间。然而，如果我们再考虑放射发生率几何学，那幺相应的平面格就不再是模格了，儘管它们也保留了完备模格的几个重要特徵。美国数学家Hassler Whitney在论文"关于线性相关的抽象性质"中提出了拟阵的概念，拟阵是一个有限集合，这个集合被赋予了一个闭运算元，而且这个闭运算元拥有一个特性，我们现在称之为Steinitz-maclance交换性质，现在，拟阵理论也已经发展成为一门丰富的学科。Whitney的论文激发了Birkhoff的兴趣，他对格的这些几何性质进斤了研究。最初，Birkhoff提出了下面这个条件，(Bi)如果a∧b是a和b的下覆盖，则a和b都是a∨b的下覆盖。很快，这个(Bi)条件被下面的(Sm)条件所取代。(Sm)如果a∧b是a的一个下覆盖，则b是a∨b的一个下覆盖。我们将一个格（或者有限或者无限）为上半模格，如果它满足上面这个(Sm)条件，这就是半模格的定义。任意一个满足(Mac)条件的格都是半模格，反之，对于有限长格或者更为一般地相对原子格来说，它满足半模律，因此也满足(Mac)条件。而且，任意一个满足(Mac)条件的上连续格是模对称格。Dedekind还提出一个同构理论，由这个理论我们可以知道任何模格都是半模格，另外，由拟阵得到的半模格通常情况下都不是模格。与(Sm)对偶的条件也成立，我们用(Sm*)来表示，满足(Sm*)的格叫做下半模格或者对偶半模格。对于有限格来说，条件(Sm)和(Sm*)同时成立就得到了常说的模格，在这个层面上来讲，半模性可以说是模性的"一半" 。然而，一个无限长的上半模和下半模格却不一定是模格，例如一个无限希尔伯特空间的闭子空间的正交格是上半模格也是下半模格，却不满足模格的条件。