化圆为方( 四 ) _生活百科

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然而，1882年，林德曼等人证明了对于圆周率

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来说，这样的多项式不存在。数学家将这样的数称为超越数，而将有对应的多项式的数称为代数数。所有规矩数都是代数数，而

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不是，这说明用尺规作图是无法化圆为方的。林德曼证明

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的超越性用到了现在称为林德曼－魏尔斯特拉斯定理的结论。林德曼－魏尔斯特拉斯定理说明，如果若干个代数数

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在有理数域

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上线性独立，那幺

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也在

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上线性独立。反设

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是代数数，那幺

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也是代数数。考虑代数数0和

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，由于

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是无理数，所以它们在

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上线性独立。然而

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和

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分别是1和-1，并非在

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上线性独立，矛盾。这说明

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不是代数数，而是超越数。