化圆为方( 二 ) _生活百科

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图1.希波克拉底证明2000年前的希波克拉底证明了新月形面积，即左图：

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(半圆

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)

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S(扇形

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)，故(新月形

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)

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(三角形

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) 。三角形不难平方化，从而新月形也能平方化。他的方法既简单又高明，这使得人们充满希望。直到林德曼证明了圆周率是超越数以后，才知道是不可能的。问题叙述化圆为方问题的完整叙述是：给定一个圆，是否能够通过以上说明的五种基本步骤，于有限次内作出一个正方形，使得它的面积等于圆的面积如果将圆的半径定为单位长度，则化圆为方问题的实质是作出长度

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为单位长度倍的线段。不可能性证明尺规作图三大难题提出后，有许多基于平面几何的论证和尝试，但在十九世纪以前，一直没有完整的解答。没有人能够给出化圆为方问题的解法，但开始怀疑其可能性的人之中，也没有人能够证明这样的解法一定不存在。直到十九世纪后，伽罗瓦和阿贝尔开创了以群论来讨论有理係数多项式方程之解的方法，人们才认识到这三个问题的本质。1.尺规可作性和规矩数在研究各种尺规作图问题的时候，数学家们留意到，能否用尺规作出特定的图形或目标，本质是能否作出符合的长度。引进直角坐标系和解析几何以后，又可以将长度解释为坐标。比如说，作出一个圆，实际上是作出圆心的位置（坐标）和半径的长度。作出特定的某个交点或某条直线，实际上是找出它们的坐标、斜率和截距。为此，数学家引入了尺规可作性这一概念。假设平面上有两个已知的点