尺规作图法( 二 ) _生活百科

文章插图
，量

文章插图
可以尺规作图的充要条件是，存在域塔：

文章插图
其中相邻的域扩张都是二次的。换句话说，除了四则运算之外，只用到开平方的，可以尺规作图。但如果是开立方之类的情况，除了完全立方之类的特殊情况，一般不能尺规作图。当然，开四次方八次方，可以连续开平方，所以也是可以尺规作图的。策略步骤（1）解作图题一般步骤：①将题给的条件具体化；②具体叙述所作图形应满足的条件；③寻找作图方法的途径；④根据分析所得的作图方法作出正式图形，并依次叙述作图的过程；⑤为了验证所作的图形是否正确，必须再根据已知的定义、公理、定理等，结合作法来证明所作的图形完全满足题中所要求的条件； ⑥研究这个问题是不是在什幺条件下都能作出图形来．在什幺情况下，有唯一解，或多解，或没有解。（2）几何作图题的一般思路：① 假设所求的图形已经作出，并且满足题中所有的条件。② 分析图中哪些是关键点，并探讨确定关键点的方法。③ 运用基本作图法确定关键点，然后完成作图。常见的尺规作图方法（1）轨迹交点法例如，电信部门要修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m、n的距离也必须相等，发射塔应修建在什幺位置？（2）代数作图法：例如，只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）。（3）旋转作图法：例如，已知：直线a、b、c，且a∥b∥c 。求作：正⊿ABC，使得A、B、C三点分别在直线a、b、c上。（4）位似法作图：例如，已知：一锐角⊿ABC求作：一正方形DEFG，使得D、E在BC上，F在AC上，G在AB上。（5）面积割补法例如，过⊿ABC的底边BC上一定点P，求作一直线l，使其平分⊿ABC的面积。八种基本作图1、作一条线段等于已知线段2、作一个角等于已知角3、作已知线段的垂直平分线尺规作图4、作已知角的角平分线5、过一点作已知直线的垂线6、已知一角、一边作等腰三角形7、已知两角、一边作三角形8、已知一角、两边作三角形作图实例过三点作圆【已知】不共线的A、B、C三点。

文章插图
【求作】过该三点之圆。【作法】① 连线AB，连线AC；② 分别作出线段AB、AC的中点D、E；③ 过D作AB的垂线，过E作AC的垂线，两垂线相交于O；④ 以O为圆心OA长为半径作圆，即为求作之圆。作顶点分别在三平行线上的正三角形【已知】平行直线L1、L2、L3 。

文章插图
【求作】正△ABC，使三个顶点分别落在三条平行线上。【作法一】① L1上任取一点D为顶点，作正三角形△DBE，使B、E落在L2上（图中虚线为正三角形简易作法）；② 作过D、E直线交L3于C；③ 以B为圆心BC为半径作弧交L1于A，连线A、B、C成△ABC 。【作法二】① L2上任取一点B作三平行线公垂线交L1于E，L3于D；② 作线段EB的垂直平分线L4；③ 过D作直线DG使∠EDG = 30°，并交L4于G；④过B、G作直线交L1于A；⑤ 以B为圆心BA为半径作弧交L3于C，连线A、B、C成△ABC 。

文章插图
注：可将第⑤步改为，过G作AB的垂线交L3于点C.这样G,B,D,C四点显然共圆．于是可证得∠BCG=∠EDG = 30°.这样可以很快证得△ABC为等边三角形。影响几何三大问题如果不限制作图工具，便很容易解决。从历史上看，好些数学结果是为解决三大问题而得出的副产品，特别是开创了对圆锥曲线的研究，发现了一批着名的曲线，等等。不仅如此，三大问题还和近代的方程论、群论等数学分支发生了关係。