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曲线拟合法【曲线拟合法】曲线拟合法(fit theory),俗称拉曲线,是一种把现有数据透过数学方法来代入一条数式的表示方式 。科学和工程问题可以通过诸如採样、实验等方法获得若干离散的数据,根据这些数据,我们往往希望得到一个连续的函式(也就是曲线)或者更加密集的离散方程与已知数据相吻合,这过程就叫做拟合 (fitting) 。
基本介绍中文名:曲线拟合法
外文名:fit theory
别名:拉曲线法
学科:物理
拟合直线或多项式曲线方程
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在笛卡尔平面上是一条直线,而这条直线的斜率是a 。因为任何两点可以决定一条直线,因此总能找到次数不多于1的多项式来串起任何两个x值相异的点 。如果把多次式的次数增加到2
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那幺只要给定x值各异的3点,总会有次数不多于2的多项式可以把它们串起 。如果把多次式的次数再增加到3
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那幺只要给定x值各异的4点,总会有次数不多于3的多项式可以把它们串起 。对于这条多项式,更正确的描述是这条多项式附合任何4个限制 。限制可以是一点(x,y)、角度或曲率(即半径的倒数 1/R) 。角度和曲率的限制通常在曲线的终端,因此称为终端条件 。为了样条(spline) 的交接平滑,通常会用到全等的终端条件 。也可以增加如曲率变化等高阶约束 。例如,在高速公路立体交叉点苜蓿叶型的设计中,可以用来理解当汽车绕着交叉点运动时作用在汽车上的力,并依此设定合理的限定时速 。一次多项式也可以拟合一个单点和一个角度,三次多项式则可以拟合两点,一个角度约束以及一个曲率约束 。许多其它类型的约束组合也同样可以用低阶或者高阶多项式来拟合 。判别拟合好坏如果有超过n+1个约束(n是多项式的阶次),仍然可以使用多项式拟合 。通常一个满足所有约束的精确拟合不一定能够得到(但是有可能得到,例如,用一次多项式拟合共线的三点三点共线) 。通常,我们需要使用一些方法来评价拟合的好坏 。最小平方法就是用来评价差别的一种常用的方法 。不通过提高多项式的次数来更好的拟合曲线的原因有下:1)即使存在精确的拟合,也不意味着必须得到这样的拟合 。根据使用的算法不同,我们可能遇到分歧,要幺精确的拟合无法得到,要幺需要太多的计算机时去得到精确的拟合 。不管哪种情况,最终都会以得到近似拟合而结束 。2)通常人们会希望得到一个近似的拟合,而不愿为了精确拟合数据而使拟合的曲线产生扭曲 。3)高次多项式往往有高度波动的特性 。如果我们通过两点“A”和“B”作一条曲线,我们希望这条曲线也能通过“A”和“B”的中点 。但是对于高次多项式,情况就不是这样了,高次多项式曲线往往可能有很大或者很小的幅值 。对于低次多项式,曲线将没有很大波动,而能通过中点(对于一次多项式,甚至能保证肯定通过中点) 。
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