Cis函式【Cis函式】cis函式又称纯虚数指数函式 ， 是複变函数的一种 ， 和三角函式类似 。它的定义域是整个实数集 ， 值域是单位複数 ， 绝对值为1的複数 。它是周期函式 ， 其最小正周期为2π 。其图像关于原点对称 。
基本介绍中文名：Cis函式
分类：数理科学
定义上述文字称它以类似三角函式的形式来定义函式的原因是 ， 就如同三角函式 ， 他也算是一种比值 ， 複数和其模的比值:
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， 其中z是幅角为
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的複数因此 ， 当一複数的模为1 ， 其反函式就是幅角（arg函式） 。cis函式可视为求单位複数的函式cis函式的实数部分和余弦函式相同 。命名由于cis函式的值为“余弦加上虚数单位倍的正弦” ， 取其英文缩写cosine andimaginary unitsine ， 故以cis来表示该函式 。欧拉公式主条目：欧拉公式在数学上 ， 为了简化欧拉公式
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， 因此将欧拉公式以类似三角函式的形式来定义函式 ， 给出了cis函式的定义：
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并且一般定义域为
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， 值域为
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。当
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值为複数时 ， cis函式仍然是有效的 ， 所以有些人可利用cis函式将欧拉公式推广到更複杂的版本 。指数定义跟其他三角函式类似 ， 可以用e的指数来表示 ， 依照欧拉公式给出:
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反函式cis的反函式: arccis x ， 当代入模为1的複数时 ， 所得的值是其辐角类似其他三角函式 ， cis的反函式也可以用自然对数来表示
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当一複数经过符号函式后代入arccis x可得辐角 。恆等式cis函式的倍角公式似乎比三角函式简单许多 。双曲cis函式一般会将双曲cis函式定义成:
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定义域和值域皆为实数 ， 但若定义双曲複数 ， 考虑数
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， 其中
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是实数 ， 而量{\displaystyle j}不是实数 ， 但{\displaystyle j^{2}}是实数 。主条目：双曲複数选取{\displaystyle j^{2}=-1} ， 得到一般複数 。取
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的话 ， 便得到双曲複数 。而双曲複数有对应的欧拉公式:
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其中j为双曲複数 。因此双曲cis函式得到的值为双曲複数 ， 相反的若将其反函式带入模为一的双曲複数可得其辐角 。如此一来 ， 值域将会变成四元数 。参见正弦