5 视觉SLAM十四讲读书笔记P40-P52 _矩阵

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Q：什么是eigen
Q：正交矩阵的定义和性质
Q：什么是特殊正交群
Q：什么叫齐次坐标
Q：什么是特殊欧氏群
Q：什么是运算符重载
Q：什么是g2o
Q：什么是
Q：什么是eigen
Eigen是一个C++模板库，提供了线性代数运算的基本功能，包括矩阵、向量、数值分解、求解线性方程组等等。它的设计目标是高性能、易用性和通用性。
Eigen提供了类似于和NumPy的API ，可以简单易懂地进行各种矩阵和向量计算。它还提供了多种算法来处理各种矩阵运算，比如求解特征值、SVD分解、QR分解等。
Eigen是一个开源库，可以自由地使用和分发。它使用头文件实现，因此很容易将其集成到您的项目中。它支持各种平台和编译器，包括、Linux、Mac OS和多种编译器，如GCC、Clang、MSVC等。
由于Eigen的设计优秀，实现高效，因此在很多领域得到广泛应用，包括计算机图形学、机器人学、信号处理等等。
Q：正交矩阵的定义和性质
正交矩阵是指矩阵的列向量（或行向量）两两正交且模长为1的矩阵。具体地，设Q是一个n阶矩阵，则Q为正交矩阵当且仅当满足以下两个条件：
Q^TQ=QQ^T=I_n ，其中I_n为n阶的单位矩阵。
Q的每一列（或每一行）都是单位向量，即|q_i|=1 ，其中q_i为Q的第i列（或第i行）。
正交矩阵的性质如下：
正交矩阵的逆矩阵是其转置矩阵，即Q^{-1}=Q^T 。
正交矩阵的行列式的绝对值为1 ，即|det(Q)|=1 。
正交矩阵的列向量（或行向量）组成一个标准正交基，即任何向量都可以由这组向量线性表示。
正交矩阵保持向量的长度和角度不变，即对于任意向量x ，有|Qx|=|x| ，且angle(Qx,Qy)=angle(x,y) 。
正交矩阵的转置矩阵仍然是正交矩阵。
两个正交矩阵的乘积仍然是正交矩阵。
正交矩阵在许多数学和应用领域中都有重要的应用，例如在线性代数中用于求解特征值和特征向量，以及在计算机图形学中用于变换和旋转等操作。
Q：什么是群
群（Group）是代数学中的一个基本概念，是一种带有代数结构的集合。群的定义包含了一个二元运算和一些基本公理，它们决定了群的性质。
具体地说，设G是一个集合，
是一个在G上的二元运算，若满足以下四个基本公理：
封闭性：对于任意的
，有
。
结合律：对于任意的
，有
。
单位元素：存在一个元素
，称为单位元素，满足对于任意的
，有
。
逆元素：对于任意的
，存在一个元素
，称为
的逆元素，满足
。
则称
为一个群。如果群
中的运算满足交换律，即对于任意的
，有
，则称
为交换群或阿贝尔群。
Q：什么是特殊正交群
特殊正交群（Group）通常记作SO(n) ，是由所有n阶行列式为1的正交矩阵所组成的群。其中的元素都是n阶的矩阵，满足矩阵的逆等于它的转置矩阵。在二维中，特殊正交群是一个圆周，因为旋转矩阵可以由一个角度参数表示；在三维中，它是一个球面，因为旋转矩阵可以由三个角度参数表示。SO(n)群在物理学中经常用来描述空间的对称性，例如在旋转对称的体系中。