【控制工程1】弹簧系统运动控制方案及simulink仿真 _弹簧

弹簧系统运动控制方案及仿真四、仿真总结
一、题目描述
如图，物块和滑轮的质量分别为 m1 和 m2，两弹簧的弹性系数分别为 k1 和 k2，滑轮的半径为 r；物块位移和滑轮的角位移分别为x和θ 。绳与圆盘无相对滑动，滑轮所在的圆平面平行于水平面（位移x非重力方向）。
问题 1：列写该系统的运动方程；
问题 2：现对滑块位移 x 进行运动控制，需获取滑轮角度和滑块位移等信息或数据，请自行设计运动控制系统方案。
二、弹簧系统运动方程求解
解：设两弹簧弹力分别为 f 1 \{f}_{1} f1?、 f 2 \{f}_{2} f2?，对应的伸长量分别为 x 1 \{x}_{1} x1?、 x 1 \{x}_{1} x1?（拉伸正，压缩负)，物体初始位移为0 ，滑轮初始转动角度为 0（顺时针为正，逆时针为负）由牛顿第二定律∑ F i = m a \sum F_{i}=m a ∑Fi?=ma 和转动定律∑ M i = J α \sum M_{i}=J \alpha ∑Mi?=Jα 可得下列方程： F t ? k 1 x 1 = m 1 a 1 = m 1 d 2 x d t 2 (1) F_{t}-k_{1} x_{1}=m_{1} a_{1}=m_{1} \frac{d^{2} x}{d t^{2}} \tag{1} Ft??k1?x1?=m1?a1?=m1??(1) k 1 x 1 r ? k 2 x 2 r = m 2 r 2 2 α 2 = m 2 r 2 2 d 2 θ d t 2 (2) k_{1} x_{1} r-k_{2} x_{2} r=\frac{m_{2} r^{2}}{2} \{2}=\frac{m_{2} r^{2}}{2} \frac{d^{2} \theta}{d t^{2}} \tag{2} k1?x1?r?k2?x2?r=2m2?r2?α2?=2m2?r2?dt2d2θ?(2)且有： x = x 1 + x 2 (3) x=x_{1}+x_{2}\tag{3} x=x1?+x2?(3) x 2 = r θ (4) x_{2}=r \theta\tag{4} x2?=rθ(4)则由式(1)、(3)、(4)得： θ = x ? x 1 r = 1 r ( x ? F t k 1 + m 1 k 1 d 2 x d t 2 ) (5) \theta=\frac{x-x_{1}}{r}=\frac{1}{r}\left(x-\frac{F_{t}}{k_{1}}+\frac{m_{1}}{k_{1}} \frac{d^{2} x}{d t^{2}}\right) \tag{5} θ=rx?x1??=r1?(x?k1?Ft??+k1?m1???)(5)将式(1)、(4)、(5)带入式(2)，化简即可得弹簧系统的运动方程： m 2 2 k 1 d 2 F t d t 2 + k 1 + k 2 k 1 F t = m 1 m 2 2 k 1 d 4 x d t 4 + ( m 2 k 1 + 2 m 1 k 1 + 2 m 1 k 2 2 k 1 ) d 2 x d t 2 + k 2 x (6) \frac{m_{2}}{2 k_{1}} \frac{d^{2} F_{t}}{d t^{2}}+\frac{k_{1}+k_{2}}{k_{1}} F_{t}=\frac{m_{1} m_{2}}{2 k_{1}} \frac{d^{4} x}{d t^{4}}+\left(\frac{m_{2} k_{1}+2 m_{1} k_{1}+2 m_{1} k_{2}}{2 k_{1}}\right) \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+k_{2} x \tag{6} 2k1?m2????+k1?k1?+k2??Ft?=2k1?m1?m2???+(2k1?m2?k1?+2m1?k1?+2m1?k2??)?+k2?x(6)
三、弹簧系统运动控制方案分析 3.1 弹簧系统传递函数
对式(6)进行拉氏变换： [ m 2 2 k 1 s 2 + k 1 + k 2 k 1 ] F t ( s ) = [ m 1 m 2 2 k 1 s 4 + ( m 2 k 1 + 2 m 1 k 1 + 2 m 1 k 2 2 k 1 ) s 2 + k 2 ] X ( s ) (7) \left[\frac{m_{2}}{2 k_{1}} s^{2}+\frac{k_{1}+k_{2}}{k_{1}}\right] F_{t}(s)=\left[\frac{m_{1} m_{2}}{2 k_{1}} s^{4}+\left(\frac{m_{2} k_{1}+2 m_{1} k_{1}+2 m_{1} k_{2}}{2 k_{1}}\right) s^{2}+k_{2}\right] X(s)\tag{7} [2k1?m2??s2+k1?k1?+k2??]Ft?(s)=[2k1?m1?m2??s4+(2k1?m2?k1?+2m1?k1?+2m1?k2??)s2+k2?]X(s)(7)即可得弹簧系统位置与控制力的传递函数： G ( s ) = X ( s ) F t ( s ) = m 2 s 2 + 2 k 1 + 2 k 2 m 1 m 2 s 4 + ( m 2 k 1 + 2 m 1 k 1 + 2 m 1 k 2 ) s 2 + 2 k 1 k 2 (8) G(s)=\frac{X(s)}{F_{t}(s)}=\frac{m_{2} s^{2}+2 k_{1}+2 k_{2}}{m_{1} m_{2} s^{4}+\left(m_{2} k_{1}+2 m_{1} k_{1}+2 m_{1} k_{2}\right) s^{2}+2 k_{1} k_{2}}\tag{8} G(s)=Ft?(s)X(s)?=m1?m2?s4+(m2?k1?+2m1?k1?+2m1?k2?)s2+2k1?k2?m2?s2+2k1?+2k2??(8)
3.2 弹簧系统稳定性分析
首先定义弹簧系统的物理参数，以便后续仿真与系统分析：
那么，弹簧系统的传递函数可以写出来：
用的函数判断弹簧系统稳定性：
输出1，说明弹簧系统本身是稳定的（可以想象到静态无外力下，弹簧系统自身保持稳定，但也许吹弹可破…）。
3.3 弹簧系统运动控制闭环框图

文章插图
问题2要求对物块位置进行控制，也就是位置控制。一般闭环控制系统包括控制器、执行器、被控对象三部分组成，此问题弹簧系统就是我们的被控对象，那么系统运动控制闭环框图如下：
3.4 伺服电机选型