IMU预积分--详细推导过程( 二 ) _imu

关于状态量中预积分公式中只与IMU的偏置有关，与其他的状态量无关。所以，当偏置估计发生变化时，若偏置的变化很小，则将 α \alpha α、 β \beta β、 γ \gamma γ按其对偏置的一阶近似来调整，否则就进行重新传递，这种策略为基于优化算法节省大量的计算，因为不需要重复传递IMU测量值。
则线性关系表达式为：
5.两帧之间PVQ增量的中值法离散形式
上式是直接根据预积分公式得出：
其中：
i i i：表示的是 [ t k , t k + 1 ] [t_k,t_{k+1}] [tk?,tk+1?] 中的IMU测量值对应的离散时刻；
δ t \delta t δt 是IMU测量值i i i 和 i + 1 i+1 i+1 之间的时间间隔
其中：
6. 连续形式下PVQ增量的误差、协方差及
接下来讨论
的增量的误差。
因为积分出来的值存在误差，所以需要对其进行分析处理。
（1）先知
IMU受到加速度计的偏置 b a b_a ba?，陀螺仪偏置 b w b_w bw? ，附加噪声 n a n_a na?、 n w n_w nw? 的影响。
假设附加噪声 n a n_a na?、 n w n_w nw? 符合高斯噪声
加速度偏置和陀螺仪偏置被建模为随机游走，其导数为高斯性的：
（2）误差项
对上述误差项分别进行求导：
接下来是详细的求导过程
（3）协方差
以上计算过程求出积分项误差的导数，根据导数的定义可得：
可得
\qquadδ t \delta t δt 的时间间隔，可以看出下一时刻（ t + δ t t+\delta t t+δt）的IMU的测量误差与上一时刻（ δ t \delta t δt）成线性关系。
\qquad 按此方式，可以根据当前时刻的值，预测出下一时刻的均值和协方差，上式给出了均值预测，同样可以得到协方差预测公式：
其中 P t b k P^{b_k}_t Ptbk??表示t时刻的协方差，Q Q Q表示噪声项符合的协方差：
（4）
7.离散形式下的PVQ增量的误差、协方差及（1）误差项
上述矩阵可以表示为：
δ Z k + 1 = F δ Z k + V n \qquad\qquad\delta Z_{k+1}=F\delta Z_k+Vn δZk+1?=FδZk?+Vn
（2）协方差
同理得到协方差公式：
P k + 1 = F P k F T + V Q V T \qquad \qquad P_{k+1}=FP_kF^T+VQV^T Pk+1?=FPk?FT+VQVT
其中 Q Q Q表示噪声项符合的协方差：
（3）
J k + 1 = F J k \qquad \qquad \qquad J_{k+1}=FJ_k Jk+1?=FJk?
（4）补充对误差项求导的详细步骤
总结：终于结束了IMU预积分的推导过程，作为一个记录（tips看了好多大佬的博客）
参考博客：
VINS-Mono理论学习——IMU预积分 Pre- （协方差）
【VINS论文翻译】VINS-Mono: Aand- State
四元数对时间求导数