FS、DFS、FT、DTFT、DFT、FFT、DCT变换的联系与区别 _周期

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前言
做图像处理总是绕不过各种变换，在这里想把一些常见的容易混淆的变换整理一下，也是在查了不少资料。
傅里叶的两个论点：1 周期信号都可以表示成谐波关系的正弦信号的加权和
2 非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来表示
总体可分为傅里叶级数（周期）和傅里叶变换（非周期），各自又有连续离散之分。
傅里叶级数（FS,DFS）：所以对于周期信号可以用一系列（连续周期为无穷个，离散周期为有限个）正弦波的叠加来表示。这些正弦波的频率都是基频的倍数。所以说周期信号的频率是离散的。而且，周期信号有一个特点，信号的周期越长，信号的基频越小。当信号为周期信号时，傅立叶变换是不存在的，因为它不满足离散信号序列绝对级数和收敛（连续傅立叶变换要求连续信号在时间上必须可积）这一傅立叶变换的充要条件。
傅里叶变换（FT,DTFT,DFT,FFT,DCT）:非周期信号可以看作周期无穷大的周期信号，那么它的基频就是无穷小，这样它的频率组成就变成了连续的了。求这个连续频率的谱线的过程就是傅立叶变换。
另外连续对应变换后的非周期离散对应变换后的周期
FS( 连续时间周期信号的傅里叶级数)
连续时间周期信号的傅里叶级数的谐波信号有无穷个，这是因为连续对应于非周期
即原信号：连续周期
傅里叶级数展开：非周期离散（谐波系数（傅里叶系数）为非周期的，谐波频率是离散的）
DFS（离散傅里叶级数）
离散傅里叶级数的谐波信号是有限的，这是因为离散对应于周期（第k个复指数序列和第N+k个是相等的。因此，离散周期函数的傅里叶级数只有N个频率成分）
即原信号：离散周期
傅里叶级数展开：周期离散（谐波系数（傅里叶系数）为周期的，谐波频率是离散的）
这些序列的频率等于周期序列的x[n]的基频2 π \pi π/N的整数倍，基波成分是
时域周期信号，频域的频率是基频的倍数（离散的），且时域周期对应为基频。
FT(连续时间非周期信号的傅里叶变换)

文章插图
由FS变化而来，连续时间非周期信号可以看成连续时间周期信号的周期趋向于无穷大，此时傅里叶级数（FS）的频率离散的谐波基频趋于无穷小，离散频率变成连续频率。FS变为FT了。
即信号时域：连续非周期
FT变换频域：非周期连续
这个 Ω \Omega Ω是角频率,每秒转过的弧度。
DTFT(离散时间傅里叶变换)
计算机只能处理离散信号，我们对图（1）采样，即乘以图（3）变为图（5），对应的频域出现周期延拓，（2）与（4）卷积变为图（6）。
即信号时域：离散非周期
DTFT变换频域：周期连续
这个 ω \omega ω是数字域频率，即角频率 × \times ×时域采样时间间隔，得到的是角度(即多少分之几的 π \pi π,是连续的)，与DTFT的角频率（每秒转过的弧度数）不同
假设时间采样间隔是 T s T_s Ts?,那么 e j ω n = e j Ω T s n e^{j\omega n}=e^{j\Omega T_sn} ejωn=ejΩTs?n即 ω = Ω T s \omega=\Omega T_s ω=ΩTs?
DFT(离散傅里叶变换)
对于DTFT时域是有限离散的可以被计算机处理，但频域是无限连续的无法处理。此时需要频域也是有限离散的，其实是周期离散取主值。
两种理解：
1.我们同样对频域采样，使得频域也离散化。图（６）与图（８）乘积得到图（10），时域周期延拓，即（5）与图（7）卷积得到图（9）。此时采样频率等于序列延拓后的周期N，即主值序列的个数。