π值表的快速记忆方法,快速记忆法及介绍( 二 ) _生活百科

(1)角的变换：观察各角之间的和、差、倍、半关系，减少角的种类，化异角为同角．
(2)函数名称的变换：观察、比较题设与结论之间，等号左右两边的函数名称的差异，化异名为同名．
(3)常数的变换：常用方式：1＝sin2α＋cos2α＝tan，＝sin等．
(4)次数的变化：常用方式是升次或降次；主要公式是二倍角的余弦公式及其逆向使用．
(5)结构变化：对条件、结论的结构进行调整，或重新分组，或移项，或变除为乘，或求差等．
考点精练
1.·＝()
A．tanαB．tan2αC．1D.
解析：y＝sin2x＋－
＝sin2x＋cos2x＝sin.
所以T＝π.
解析：原式＝2tanα·＝＝tan2α.
解析：∵β∈，且sinβ＝＜，∴0＜β＜.
cosβ＝＝＝，
∴tanβ＝，∴tan2β＝.
∴tan(α＋2β)＝＝＝1.
(1)当0＜α＜时，∵0＜β＜，∴0＜2β＜.
∴0＜α＋2β＜，∴α＋2β＝.
(2)∵tanα＝＞0，且α∈(－π，0)，
∴－π＜α＜－.又0＜β＜，∴0＜2β＜.
∴－π＜α＋2β＜－，故α＋2β＝－.
3．化简：＋＝()
A.B．cosθC.D．sin2θ
解析：原式＝
＋＝
＋＝＝.
证明：∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sinα
＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sinα
＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα－2cos(α＋β)sinα
＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα
＝sin[(α＋β)－α]＝sinβ.
两边同除以sinα，得－2cos(α＋β)＝.
4．函数y＝sin2x＋cos2x－的最小正周期等于()
A．πB．2πC.D.
5．已知sin2α＝－，α∈，则sinα＋cosα等于()
A．±B.C．±D.
解析：(sinα＋cosα)2＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝1＋sin2α＝，而α∈，sinα＋cosα＝sin＞0，
所以sinα＋cosα＝.
题型一三角函数式的化简例1 (1)已知f(α)＝2tanα－，求f；
(2)已知tan2θ＝－2，π＜2θ＜2π，求的值．
解析：(1)f(α)＝2tanα－＝＋＝，
∴f()＝＝8.
(2)原式＝＝.
又tan2θ＝＝－2，解得tanθ＝－，或tanθ＝.
∵π＜2θ＜2π，∴＜θ＜π，∴tanθ＝－.
故原式＝＝3＋2.
题型二三角函数式的求值例2 已知sinβ＝，tanα＝，求满足下列条件的α＋2β的值．
(1)α∈，β∈；
(2)α∈(－π，0)，β∈.
解后反思：①本例说明了确定角的范围的重要性，虽然tan(α＋2β)＝1，但角的范围不同，故所求角不同．②选择求函数值的方法(设所求角为x)：a.当x∈(0，π)时，应求cosx或tanx的值；b.当x∈(，π)时，应求tanx或sinx的值；c.当x∈(π，2π)时，应求tanx或cosx的值；d.当x∈(－，)时，应求tanx或sinx的值．
题型三三角恒等式的证明例3 求证：－2cos(α＋β)＝.
随堂反馈
1．已知函数f(θ)＝－＋(0＜θ＜π)．
(1)将f(θ)表示成关于cosθ的多项式；
(2)若a∈R，试求使曲线y＝acosθ＋a与曲线y＝f(θ)至少有一个交点时a的取值范围．
解析：(1)f(θ)＝－＋
＝－＋
＝－＋
＝－＋
(2)由2cos2θ＋cosθ－1＝acosθ＋a，
得(cosθ＋1)(2cosθ－1)＝a(cosθ＋1)．
∴cosθ＝，∴－1＜＜1，即－3＜a＜1.
解析：由3sin2α＋2sin2β＝1，得1－2sin2β＝3sin2α，
即cos2β＝3sin2α.
又由3sin2α－2sin2β＝0，得sin2β＝sin2α.
∴cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β
＝cosα·3sin2α－sinα·sin2α
＝3sin2α·cosα－3cosα·sin2α＝0.
又∵0°＜α＜90°，0°＜β＜90°，∴0°＜α＋2β＜270°.
故α＋2β＝90°.
3．求证：＝sin2α.
证明：方法一：
左边＝＝
＝＝
＝sincoscosα＝sinαcosα
＝sin2α＝右边．
∴原式成立．
方法二：左边＝＝