积分四则运算法则及常用公式积分的基本运算法则

1、替代整合法
第一类:由基本微分公式导出的微分公式。
定理1:设f(u)有原函数， u=ψ(x)可导，则有代换公式:
∫f[ψ(x)]ψ'(x)dx=[∫f(u)du]u=ψ(x).
步骤:
(1)被积函数中的简单因子组合成复合函数中间变量的微分；
(2)引入中间变量进行替代；(3)利用积分基本公式计算不定积分；
(4)变量缩减。
常用微分公式:
(1)(1/√x)dx = 2d(√x)；
(2)(1/x)dx =-d(1/x)；
(3)(1/x)dx = d(ln | x |)；
(4)exdx = dex；
(5)cosxdx = dsinx；
(6)sinxdx =-dco sx；
(7)(1/cos x)dx = sec xdx = dtanx；
(8)(1/sin x)dx =-CSC xdx =-dco tx；
(9)[1/√( 1-x)]dx = d(arcs inx)=-d(arc cocx)；
(10)[1/(1+x)]dx = d(arctanx)=-d(arccotx).
第二类:
定理2:设x=ψ(t)为单调可微函数，且ψ'(t)≠0 ，设f[ψ(t)]ψ'(t)有原函数，则有代换公式:∫ f (x) dx = 。
三角函数替换法:
三角形替换法
√ (a-x) = acost ，设x=asint ， t ∈ (-л/2 ， л/2)；
√ (a+x) = as ect ，设x=atant ， t ∈ (-л/2 ， л/2)；
√ (x-a) = atant ，设x=asect ， t∈(0 ， л/2) 。
简单无理数替换法:
∫R(x ， n√(ax+b))dx ，这样t = n √( ax+b)；
∫R(x ， n√(ax+b) ， m√(ax+b))dx ，设t=p√(ax+b)(p是m和n的最小公倍数)；
∫R(x ， n √ [(ax+b)/(CX+d)] dx ，设t=n√[(ax+b)/(cx+d)] 。
倒代换法:如果被积函数中有分数函数，且分母大于分子，可以尝试使用倒代换，即X = 1/t ，利用这种代换，往往可以消除被积函数分母中的可变因子X 。
指数代换法:设ex = t 。
对常用积分公式的补充:
①∫tanxdx =-ln | cosx |+C；②∫cot xdx = ln | sinx |+C；③∫cscxdx = ln | cscx-cotx |+C；
④∫secxdx = ln | secx+tanx |+C；⑤∫1/(a+x)dx =(1/a)arctan(x/a)+C；
⑥∫1/(x-a)dx =(1/2a)ln[(x-a)/(x+a)]+C；
⑦∫1/√( a-x)dx = arcsin(x/a)+C(a > 0)；
⑧∫1/√( a+x)dx = ln | x+√(a+x)|+C；⑨∫1/√(x -a )dx=ln|x+√(x -a )|+C .
2.分部积分(由两个函数乘积的求导法则导出)
定理1:设函数u=u(x)和v(x)有连续导数，则∫udv=uv-∫vdu 。
补充:v更容易获得；∫vdu比∫ ∫udv更容易找到；
当被积函数是幂函数与正余弦或指数函数的乘积时，幂函数在D之前，正余弦或指数函数在D之后；
当被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积时，对数函数或反三角函数在D之前，幂函数在D之后；
被积函数使用时的指数函数与正余弦函数的乘积是任意函数求导，经过两次部分积分后，会恢复到原来的积分形式，但系数发生变化，称为循环法；
在求不定积分的过程中，有时需要同时使用换元法和分部积分法。
【积分四则运算法则及常用公式积分的基本运算法则】3.有理函数积分和三角函数的有理公式。
有理函数的积分；
有理函数的形式:有理函数是指用两个多项式的商表示的函数，即具有以下形式的函数:
P (x)/q (x) = (a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x+an)/(B0≠0+b1xm-1+b2xm-2+…+bm-1x+am) ，其中m和n为非负整数， a0 。当n < m时，这个有理函数叫做真分式；当n≥m时，这个有理函数叫做假分式。假分数总是可以化为多项式和真分数之和。
求实分数不定积分:分母可以因式分解的，就先因式分解，再转化为部分分数再积分。

积分四则运算法则及常用公式 积分的基本运算法则

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