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方程16：粒子在时空中运动所依据的测地线运动方程 。

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推导爱因斯坦引力定律
在牛顿物理学中 ， 描述引力场的方程是用引力势U来表示的 。当没有引力时 ， 只有U=0；当有一个大质量物体 ， 但受其场影响的被测粒子在物体外时 ， 有?2U=0；在有物质的区域 ， 方程变为?2U=4πGρ 。

再试试如何把这三个方程应用于广义相对论 。

首先 ， 假设有一个粒子根据方程16来进行运动 。如果方程16通过坐标转换可变为方程10 ， 那么这就意味着粒子不在引力场中 。

同样 ， 在目前的重力下 ， 克氏符号在任何坐标变换后都不能消失 。利用克氏符号的变换规律就很容易证明 ， 如果要通过一个普通的坐标变换来使得所有的克氏符号都消失 ， 只有当方程17中的四个变换fs对于方程18有解 。


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方程17：应用于克氏符号的变换 。


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方程18：克氏符号消失的条件 。

如果所谓的黎曼-克氏张量消失 ， 就会发生这种情况 。后者由以下给出：


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方程19：黎曼曲率张量或黎曼-克氏张量 。

我们得出结论 ， 引力场不存在的条件是：


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方程20：失重的条件 。这个方程是U=0牛顿方程在相对论理论下的结果 。

这个方程是牛顿方程U=0的广义相对论版本 。可见 ， ?2U=0最简单的概括是方程20的收缩 ， 即：

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方程21：里奇标量的消失是?2U=0牛顿方程在相对论下的结果 。

这个消失的物体叫做里奇张量 。最后一步是确定?2U=4πGρ右侧的归纳 。在此 ， 首先想到的是能量动量张量 。通过狭义相对论 ， 我们可以知道它的导数消失了 。但是广义相对论是协变理论 ， 所以标准导数的消失是不够的：我们还需要T的协变导数消失 ， 并且这在所有坐标系中都满足 。


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但里奇张量的协变导数是非零的 。通过引入一个相关且协变导数会消失的张量 ， 即所谓的爱因斯坦张量 ， 这一问题就会得以解决 。


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在广义相对论中 ， 物体之间的引力效应是时空扭曲的结果 。

因此 ， 爱因斯坦引力定律变成：


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通过要求在c → ∞的区间内 ， 可以获得常数k ， 并且牛顿的理论也能得以应用 。

最美丽的物理理论 ， 你感受到它的魅力了嘛？

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