自然数概念,自然数的概念( 二 ) _生活百科

定义2 设有有限集合A和B,且A∩B=Φ(A,B分离).若记A∪B=C,集合A,B,C的基数分别是a,b和c,那么c叫做a与b的和,记作
a+b=c.
a和b叫做加数.求两个数的和的运算叫做加法.
定义3 设有m(m>1)个相互对等,且两两分离的有限集合A1,A2,A3,…,Am,它们的基数都是n.又设A=Umi=1Ai,A的基数记作
a,即有a=n+n+…+nm个,这个a就叫做n乘以m的积,记作a=n×m,或a=n.m,或a=nm.n称为被乘数,m称为乘数.求两个数积的运算叫做乘法.
对于数0,1,补充义定:n和0的积是0,n和1的积是n,即n.0=0,n.1=1.
在上述定义里,加法、乘法的交换律、结合律,乘法对于加法的分配律仍然成立.
关于减法运算的定义,除了去掉“非空”二字外,集合B可以是A本身,即
定义4 设有有限集合A和B,B A,若记A-B=C,且A,B,C的基数分别记作a,b,c,那么c叫做a,b的差,记作
a-b=c.
a叫做被减数,b叫做减数.求两个数差的运算叫做减法.
除法是乘法的逆运算,在原定义中要限定“除数非零”即可.
定义5 设a,b(b≠0)是两个自然数,如果存在一个自然数c,使得bc=a,那么c叫做a除以b所得的商,记作
ab=c,或a÷b=c.
a称为被除数,b称为除数.求两个数商的运算叫做除法.
4 自然数的有关性质
(1)自然数的有序性决定了自然数可以比较大小,即
定义6 如果两个有限集合A,B的基数分别为a,b,那么
1° 当A A′,A′～B时,a>b;
2° 当B′ B,A～B′时,a 3° 当A～B时,a=b.
自然数有反身律:a=a;对称律:若a=b,则b=a;传递律:若a≥b,b≥c,则a≥c.
自然数从小到大的排序为
0,1,2,3,….
(2)自然数的单调性反映了不等量关系中的运算性质,扩充后的自然数其单调性有了局部性改变,即
若a≥b,则
1° a+c≥b+c;
2° 当c>0时,ac≥bc,
当c=0时,ac=bc.
对于与自然数有关的数学论证与原理,应随自然数扩充后作相应调整.如数学归纳法证明的步骤应是
【自然数概念,自然数的概念】1° 验证n=0时,命题成立;
2° 假设n=k-1时成立,则n=k时命题成立.
参考文献：http://www.xysc168.com/upload/shenghuo/fengjing9862tp.jpg" alt="自然数的概念" />
用来表示物体个数的数，如:1、2、3、4、5、6、7、8、9、......这样的数叫做自然数。一个物体也没有，用0表示， 0也是自然数。
因此，最小的自然数是0 ，没有最大的自然数。
自然数概念的基本定义

文章插图
序数理论是意大利数学家G.皮亚诺提出来的。他总结了自然数的性质，用公理法给出自然数的如下定义：自然数集N是指满足以下条件的集合：①N中有一个元素，记作1 。②N中每一个元素都能在N中找到一个元素作为它的后继者。③1不是任何元素的后继者。④不同元素有不同的后继者。⑤(归纳公理)N的任一子集M ，如果1∈M ，并且只要x在M中就能推出x的后继者也在M中，那么M=N 。
自然数，即1、2、3、4……或0、1、2、3、4…… 。其中， 0是否为自然数还没定论。
从历史上看，国内外数学界对于0是不是自然数历来有两种观点：一种认为0是自然数，另一种认为0不是自然数。建国以来，我国的中小学教材一直规定自然数不包括0 。国外的数学界大部分都规定0是自然数。为了方便于国际交流， 1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB 3100-3102-93）《量和单位》（11-2.9）第311页，规定自然数包括0 。所以在近几年进行的中小学数学教材修订中，教材研究编写人员根据上述国家标准进行了修改。即一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。“0”是否包括在自然数之内存在争议，有人认为自然数为正整数，即从1开始算起；而也有人认为自然数为非负整数，即从0开始算起。关于这个问题尚无一致意见。不过，在数论中，多采用前者；在集合论中，则多采用后者。中小学教材中规定0为自然数。