同一段弧所对的圆周角和圆心角圆周角和圆心角的关系圆的圆心角和圆周角的关系

01垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
如图，AB是圆O的一条弦，CD是直径，如果CD⊥AB于点M，则AM=BM，AC=CB；如果AM=BM，则CD⊥AB，AC=CB 。

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02圆周角与圆心角关系同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
如图①②③，下面仅证明图③一种情况。
已知：如图，∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角
求证：∠BAC=1/2∠BOC

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证明：连接O、A与B、C，则△OAC为等腰三角形
【同一段弧所对的圆周角和圆心角圆周角和圆心角的关系圆的圆心角和圆周角的关系】则∠COA=180°-2∠OAC
=180°-2（∠BAC+∠BAO）
又因为均为等腰三角形
所以∠BOA+2∠BAO=180°
即（∠BOC+∠COA）+2∠BAO=180°
即[∠BOC+180°-2（∠BAC+∠BAO）]+2∠BAO=180°
化简得∠BAC=1/2∠BOC

03五等关系同圆或等圆中，如果两个圆周角、两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距这五个量中只要有一组量相等，那么它们所对的其余各组量也分别相等。

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04直径（或半圆）所对的圆周角是直角直径（或半圆）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

05相交弦定理如图，圆O的两条弦AB、CD相交与点E，则AE·EB=CE·ED

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06切线垂直于过切点的半径圆的切线垂直于过其切点的半径；经过半径的非圆心一端，并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的一条切线。

07弦切角定理切线与弦所夹的角等于它们所夹的弧所对的圆周角。
如图，AB切O于点A，AC是O的一条弦，D为圆上一点，则∠BAC=∠ADC

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证明：连接OA、OC，则OA⊥AB，即∠BAC+∠OAC＝90°
又因为在等腰△OAC中，
∠OAC=1/2（180°-∠AOC）
=90°-1/2∠AOC
所以∠BAC+90°-1/2∠AOC=90°
即∠BAC=1/2∠AOC
所以∠BAC=∠ADC

08切割线定理如图，AB切O于点B，过A点的割线分别交O于点C、D，则AB2=AC·AD

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证明：连接BC、BD，由弦切角定理可知∠ABC=∠BDA
又因为 ∠A=∠A
所以△ABC∽△ADB
所以AB/AD=AC/AB 即AB2=AC·AD

09同一点做圆的两条切线长度相等如图，AB、AC均是O的切线，则AB=AC

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10平行线所夹得弧相等如图，AB∥CD，则AC=BD

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11四点共圆共斜边的两直角三角形共圆，如图①②
对角互补的四边形四个顶点共圆。

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12两圆连心线垂直平分公共弦如图，O1和O2的公共弦为AB，O1、O2交AB于点M，则O1O2⊥AB，AM=BM 。

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同一段弧所对的圆周角和圆心角 圆周角和圆心角的关系 圆的圆心角和圆周角的关系

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