03 几何法求导 _公式

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这一节课，我们会用可视化的方式直观的思考导数公式的意义。
并鼓励你永远不要忘记，微小的变化才是导数的意义。
在一个公式f(x)中，当我们的x轴取值发生了dx的微小变化时，相应的在y轴产生了一个df的变化。
df/dx也就是这个变化的变化率。这就是导数的意义。
我们知道当f(x)=x2时，我们的变化率会随着x的增加而增加。
当x=0时，是切线斜率是0

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当x=1时，它的斜率稍微变得陡峭。

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而随着x的增加，会越来越陡峭。
接下来我们用更直观的方式来理解。
x2，可以理解为一个边长为x的正方形面积。

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上图这个正方形，我们这个正方形设随着x增加的而增加的面积为df那么：

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增加的面积为两个竖条的面积各自为：x*dx 而小方块的面积为: dx2
那么df=2x*dx+dx2
df/dx=2x + dx
当dx逐渐缩小， dx可以忽略不计。
我们就得到f(x2)的导数是 2x

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同样的道理可以直观的推导到三次方的公式上。
x3理解为一个边长为x的立方体。
用上面的方法可以很容易的直观想象出，为什么x3求导公式是3x2
但是x三次方以上的幂函数我们很难用几何图形的方式想象他的形状。毕竟我们的大脑是在三维空间中进化来的。
一下就是x的n次幂求导公式的推导。虽然不能直接用集合图形法来证明，
但是把这个公式中的各个相加的项与我们之前公式中的项相对应，还是可以帮助你更好的理解这个推导的过程。
而且图像法也可以告诉我们，数学公式是有现实意义的，并非只是纯粹的计算技巧。

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课程中还给出了一个思考题：自己通过图形法推导1/x的导数。
视频中还给出了提示：

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使用图形法，我们可以知道：1/x*x=1
这一点很明显。而1/x*x可以看做是一个底为1/x，高为x的矩形的面积。而这个矩形随着x的变化面积永远都为1
那么当x增加了dx时，右边的面积增加了途中绿色的部分，约等于1/x*dx，上面也就是红色部分的面积改变为df*x
因为该矩形的面积不变，所以
1/x*dx+df*x=0
df*x=-1/x*dx
df/dx=-1/x2
最后，我们来看看正弦函数的求导法。
关于正弦函数求导，视频中主要使用了单位圆进行辅助推导。
对单位圆不熟悉的可以先移步：
%E5%8D%95%E4%BD%8D%E5%9C%86
不了解单位圆后面的证明看着可能会有些地方难以理解
我们先将sin(θ)的函数曲线绘制出来，然后看他的切线变化，大致得到这样一个图形。
当2π*n+π/2时，切线是平的。而当2π*n+π时，切线的斜率最陡峭。而且呈现出周期性。
这个形状与cos(θ)的函数很像。
【03 几何法求导】

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现在我们就用单位圆来看一下sin(θ)的求导公式是不是cos(θ)

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如图在单位园公式为x2+y2=1，随着θ的变化，y的值正好就是sin(θ)的值。
而θ的值与黄色的部分的长度也是相等的。
等等，为什么θ和值会θ角度下，对应的弧度长度一致呢？
其实很简单。因为x2+y2=1，绘制出的圆的半径为1 。在这个图中可以很明显的看到这一点。
那么这个的周长就是2π 。的变化是从0到2π随着θ的变化而均匀变化。
θ自身的变化也是从0到2π ，均匀变化。很明显他们的值是一一对应的。
当θ值发生微小变化的时候，比如增加了dθ
圆弧也随之增加dθ 。而y的值增加了看做d(sin(θ))
当我们去的dθ非常小的时候，dθ的值约等于下图中相似三角形的斜边的值。

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我们用y值的变化d(sin(θ))/dθ ，从图中的相似三角形可以看出，正好是邻边比斜边的，也就是cos(θ)

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很明显cos(θ)求导公式就是cos(θ)
那么你是否可以使用上面的方式证明一下。