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（无论它多幺小） ， 总存在正数
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， 使得当
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满足不等式
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时 ， 对应的函式值
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满足不等式
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， 那幺常数
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就叫做函式
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当
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时的极限 ， 或称函式
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收敛于
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.
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函式极限记为
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或
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用逻辑符号可以表示为：
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当
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时 ， 有
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或者：
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历史背景微积分一诞生 ， 就在力学、天文学中大显身手 ， 能够轻而易举地解决许多本来认为束手无策的难题 。后来 ， 微积分又在更多的领域取得了丰硕的成果 。人们公认微积分是17、18世纪数学所达到的最高成就 ， 然而它的创始人牛顿和莱布尼茨对之所作的论证却并不清楚、很不严谨 。无论是牛顿的瞬和流数 ， 还是莱布尼茨的dx和 ， 都涉及到"无穷小量" ， 而在他们各自的论述中都没有给出确定的、一贯的定义 。在微积分的推导和运算过程中 ， 常常是先用无穷小量作为分母进行除法 ， 然后又把无穷小量当作零 ， 以消除那些包含有它的项 。那幺"无穷小量"究竟是零还是非零呢？如果它是零 ， 怎幺能用它去作除数呢？如果它不是零 ， 又怎幺能把包含它的那些项消除掉呢？这种逻辑上的矛盾 ， 牛顿和莱布尼茨都意识到了 。牛顿曾用有限差值的最初比和最终比来说明流数的意义 ， 但是当差值还未达到零时 ， 其比值不是最终的 ， 而当差值达到零时 ， 它们的比就成为 ， 怎样理解这样的最终比呢？实在令人困惑 。牛顿承认他对自己的方法只作出"简略的说明 ， 而不是正确的论证 。"莱布尼茨曾把无穷小量形容为一种"理想的量" ， 但正如一些数学家所说："与其说是一种说明 ， 还不如说是一个谜 。"
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牛顿
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贝克莱奇怪的是 ， 微积分自身存在着明显的逻辑混乱 ， 然而在实际套用中则是卓有成效的得力工具 。这样 ， 微积分就具有了"神秘性" 。起初 ， "神秘性"集中表现在对于"无穷小量"这个概念的理解上 ， 并因而受到了各种人的攻击 。数学家们不能容忍这一新方法的理论本身是如此的含糊不清乃至荒谬绝伦 。法国数学家洛尔称微积分为"巧妙的谬论的汇集"；着名思想家伏尔泰说微积分是"精确的计算和度量某种无从想像其存在的东西的艺术" 。在一片疑难和责问声中 ， 以英国主教兼哲学家贝克莱的谴责最为强烈 ， 他讥讽无穷小量是"逝去的量的鬼魂" ， 说微积分包含"大量的空虚、黑暗和混乱" ， 是"分明的诡辩" 。马克思曾对微积分作过一番历史考察 ， 他把这一时期称为"神秘的微积分"时期 ， 并有这样的评论："于是 ， 人们自己相信了新发现的算法的神秘性 。这种算法肯定是通过不正确的数学途径得出了正确的（而且在几何套用上是惊人的）结果 。人们就这样把自己神秘化了 ， 对这新发现的评价更高了 ， 使一群旧式正统派数学家更加恼怒 ， 并且激起了敌对的叫嚣 ， 这种叫嚣甚至在数学界以外产生了反响 ， 而为新事物开拓道路 ， 这是必然的 。"