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测圆海镜【测圆海镜】《测圆海镜》，中国古代数学着作 。由中国金、元时期数学家李冶所着，成书于1248年 。全书共有12卷，170问 。这是中国古代论述容圆的一部专着，也是天元术的代表作 。
基本介绍书名：《测圆海镜》
作者：李冶
类别：古代数学着作
出版时间：1248年
简介《测圆海镜》所讨论的问题大都是已知勾股形而求其内切圆、旁切圆等的直径一类的问题 。勾股形的解法是中国古代数学的重要内容之一 。
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《测圆海镜》此外，在中国古代数学的发展中，天元术起着重要的作用 。在《测圆海镜》问世之前，我国虽有文字代表未知数用以布列方程和多项式的工作，但是没有留下很有系统的记载 。李冶在《测圆海镜》中系统而概括地总结了天元术，使文词代数开始演变成符号代数 。所谓天元术，就是设“天元一”为未知数，根据问题的已知条件，列出两个相等的多项式，经相减后得出一个高次方程式，称为天元开方式，这与现代设x为未知数列方程一样 。欧洲的数学家，只有到了16世纪以后才完全作到这一点 。《测圆海镜》全书170 题，基本上都是（依据《识别杂记》）列出天元式，求出勾股容圆问题的解 。李冶在40岁时便放弃功名，终生从事数学研究 。他反对象数神秘主义，认为数学来自客观的自然界，这些观点反映在他自己写的“《测圆海镜》”序中，这在当时是十分可贵的，也是他在数学上取得重大成就的主要因素之一 。清代阮元认为《测圆海镜》是“中土数学之宝书”，李善兰称讚它是“中华算书实无有胜于此者” 。《测圆海镜》不仅保留了洞渊九容公式，即9种求直角三角形内切圆直径的方法，而且给出一批新的求圆径公式 。卷一的"识别杂记"阐明了圆城图式中各勾股形边长之间的关係以及它们与圆径的关係，共六百余条，每条可看作一个定理（或公式），这部分内容是对中国古代关于勾股容圆问题的总结 。后面各卷的习题，都可以在“识别杂记”的基础上以天元术为工具推导出来 。李冶总结出一套简明实用的天元术程式，并给出化分式方程为整式方程的方法 。他发明了负号和一套先进的小数记法，採用了从零到九的完整数码 。除O以外的数码古已有之，是筹式的反映 。但筹式中遇O空位，没有符号O 。从现存古算书来看，李冶的《测圆海镜》和秦九韶《数书九章》是较早使用O的两本书，它们成书的时间相差不过一年 。《测圆海镜》重在列方程，对方程的解法涉及不多 。但书中用天元术导出许多高次方程（最高为六次），给出的根全部準确无误，可见李冶是掌握高次方程数值解法的 。《测圆海镜》数学上的成就有三点：“天元术”，即列方程解决问题的一种“机械化”程式，相当于现代设x为未知数列方程的方法，这是一项具有世界意义的创举；勾股形解法，把传统的勾股形研究推进到一个新的层次；数学抽象化的新起点：此书虽然形式上仍採用问题集的表述方式，但问题显然已不是从实际生活中得来的，而是出于数学研究的需要产生的，只是出于传统，披上了“实用”的外衣，这对中国古代数学无疑是一种重要的突破和补充，就内容看，给出了一些专门的概念和公式(“识别杂记”)，採用了演绎推理的方法等，在中国数学思想发展中占有重要的地位 。作者简介李冶(1192-1279)是中国古代数学家，字仁卿，号敬斋，真定府栾城县（今河北省栾城县）人，宋元数学四大家之一 。李冶生于大兴（今北京市大兴县），父亲李通为大兴府推官 。李冶自幼聪敏，喜爱读书，曾在元氏县（今河北省元氏县）求学，对数学和文学都很感兴趣 。《元朝名臣事略》中说：“公（指李冶）幼读书，手不释卷，性颖悟，有成人之风 。”李冶一生着作虽多，但他最得意的还是《测圆海镜》．他在弥留之际对儿子克修说：“吾平生着述，死后可尽燔去．独《测圆海镜》一书，虽九九小数，吾常精思致力焉，后世必有知者．庶可布广垂永乎？”李冶的数学研究是以天元术为主攻方向的．这时天元术虽已产生，但还不成熟，就像一棵小树一样，需要人精心培植．李冶用自己的辛勤劳动，使它成长为一棵枝叶繁茂的大树．李冶作为一个有成就的数学家，在治学态度方面，具有与古往今来的科学家所共有的精神，也有其独特之点：1.在极端艰苦的条件下坚持科学研究，从不间断自己的工作 。李冶处在一个动荡不定的时代，特别是弃官隐居以后，从事科学研究的环境是十分艰苦的，常常饑寒至不能自存，但仍处之泰然，以讲学着书为乐 。对于数学研究，他也是下过苦功的，他在病危时对其子克修说：“测圆海镜一书，虽九九小数，五常精思致力焉，后世必有知者” 。2.坚持科学真理，不为闲言蜚语所动摇数学研究在当时社会是被轻视的，李冶的工作很少得到当时学者的理解 。《测圆海镜》和《益古演段》两书，是在他逝世后三十年才得以付印的 。3.善于接受前人知识，取其精华 。有人问学于李冶，李冶回答说：“学有三：积之之多不若取之之精，取之之精不若得之之深” 。这就是说，要去其糟粕，取其精华，并使它成为自己的东西 。4.反对文章的深奥化和庸俗化，主张文章是为别人，而不是为自己 。李冶在《益古演段》序中说：“今之算者，未必有刘（徽）李（淳风）之工，而编心踞见，不肯晓然示人唯务隐互错揉故为溪滓黯哭，唯恐学者得窥其仿佛也 。”他的《益古演段》就是这种主张下的着作 。纵观李冶一生，不管是在为人上还是在学术上，都不愧为一代楷模．他在任钧州知事期间，为官清廉、正直，亲自掌管出纳，一丝不苟．据载，钧州城的出纳“无规撮之误”．在当时动乱的环境中，像李冶这样的清官确实是难能可贵的．李冶在《敬斋古今黈》中说：“好人难做须着力”，又说：“着力处政是圣贤阶级”，这正是他为人做官的写照．他同情人民，面对蒙古军队的屠杀和抢掠，不仅在诗文中表现了极大的愤慨，而且在见忽必烈时，力劝蒙古统治者“止征伐”．他一生热爱科学，追求自由，决不负辱求名．在学术上不迷信名家，敢于突破传统观念的束缚．他虽是通儒出身，但当他认识到数学的重要性时，便专攻数学，这种行动本身就是对传统儒学的批判，因为在儒家看来，数学“可以兼明，不可以专业”．当时盛行的新儒学——程朱理学，甚至把研究科技看作“玩物丧志”，把数学说成“九九贱技”．李冶毫不客气地批评了这些错误观点，指出在朱熹的着述中“窒碍之处亦不可以毛举也”．值得注意的是，李冶的思想深受道家影响．道家崇尚自然，这无疑是有利于把人们的眼光引向自然科学的．庄子的自然观甚至成为李冶抵制唯心主义理学的思想武器．他说：“由技兼于事者言之，夷之礼，夔之乐，亦不免为一技；由技进乎道者言之，石之斤，肩之轮，非圣人之所与乎？”(夷，黄帝臣名；夔，舜臣名．石，扁，均为古工匠名)这就是说，从技艺用于实际来说，圣人所作的礼和乐也可看作一种技艺；从技艺中包含自然规律(即“道”)来说，工匠使用的工具也是圣人所讚赏的．如果我们把李冶的话同庄子所说的“道者，万物之所由也．……道之所在，圣人尊之”联繫起来，李冶受庄子思想的影响是一目了然的．很明显，他认为数学这种技艺也是“道之所在”，也应受到尊重． 李冶还认为，数虽奥妙无穷，却是可以认识的，他说：“谓数为难穷，斯可；谓数为不可穷，斯不可．何则？彼其冥冥之中，固有昭昭者存．夫昭昭者，其自然之数也．非自然之数，其自然之理也．”李冶的这一思想，也可以从老庄学说找到渊源．庄子说：“夫昭昭生于冥冥，有伦生于无形．”老子说：“人法地，地法天，天法道，道法自然”，“道之尊，德之贵，夫莫之命而常自然．”正是由于对自然的深刻理解，李冶进一步指出：“数一出于自然，吾欲以力强穷之，使隶首复生，亦末如之何也已．苟能推自然之理，以明自然之数，则虽远而乾端坤倪，幽而神情鬼状，未有不合者矣．”李冶不仅有比较先进的哲学思想，而且能在极为艰苦的条件下进行顽强的科学研究．他在桐川着书时，居室十分狭小，甚至常常不得温饱，要为衣食而奔波．但他却以着书为乐，从不间断自己的工作．他的学生焦养直说他“虽饑寒不能自存，亦不恤也”，在“流离顿挫”中“亦未尝一日废其业”，“手不停披，口不绝诵，如是者几五十年”．另外，他还善于去粗取精，批判地接受前人知识，正如他自己所说：“学有三，积之之多不若取之之精，取之之精不若得之之深．”这些优良品质，都是李冶在学术上取得杰出成就的重要原因．李冶时代，数学不受重视．但李冶却执着地追求真理，他在《测圆海镜序》中说：“览吾之编，察吾苦心，其悯或者当百数，其笑我者当千数．乃若吾之所得则自得焉耳，宁复为人悯笑计哉？”李冶不仅学术精深，而且致力于传徒授业，对学生循循善诱．后人盛讚李冶“导掖其秀民，仁之至也．其徒卒昌于时，孰不曰文正公所作成也”(文正为李冶谥号)．李冶以自己的毕生心血，在中国科学史上写下了光荣的一页，被人们深深怀念着．第一卷《测圆海镜》由卷一的圆城图式、说明各个长度名称的总率名号、给出各个长度数值的今问正数、囊括了各个量之间关係的公式总集识别杂记；卷二至卷十二，共一百七十个问题及其解答所组成 。书中一共有148问，182种方法是以天元术列出方程以求解，其中列出一次方程31个，二次方程106个，三次方程24个，四次方程20个，六次方程1个第一卷圆城图式圆城图式（右图）是全书的总括图解，由一个直角三角形（古时称为勾股形）、它的内切圆以及一些特定的点和直线组成 。其中的顶点、圆心和交点都用某个汉字来指代 。最大的三角形的三个顶点分别是天、地、乾，天地乾三角形的内切圆圆心称为心 。过心的垂直线从上至下分别和三角形、内切圆交于日、南、北三点 。过心的水平线从左至右分别和三角形、内切圆交于川、东、西三点 。过东的垂直线和过南的水平线都是内切圆的切线，它们分别交天地乾三角形于艮、坤、山、月四点，而相交于巽点 。乾坤巽艮构成一个正方形 。过月的垂直线交东西水平线于青点，交地乾边于泉点 。过山的水平线交南北垂直线于朱点，交天乾边于金点 。而这两条线相交于泛点 。最后过日的水平线交天乾边于旦点，过川的垂直线交地乾边于夕点 。总共22个点 。总率名号全书所研究的三角形一共有15个，全部是以天地线之间的线段为弦（斜边）的直角三角形 。总率名号给出了这些三角形和线段的名称 。它们分别是：