![测圆海镜](http://img.gansulong.com/220813/0522061L9-0.jpg)
文章插图
测圆海镜【测圆海镜】《测圆海镜》,中国古代数学着作 。由中国金、元时期数学家李冶所着,成书于1248年 。全书共有12卷,170问 。这是中国古代论述容圆的一部专着,也是天元术的代表作 。
基本介绍书名:《测圆海镜》
作者:李冶
类别:古代数学着作
出版时间:1248年
简介《测圆海镜》所讨论的问题大都是已知勾股形而求其内切圆、旁切圆等的直径一类的问题 。勾股形的解法是中国古代数学的重要内容之一 。
![测圆海镜](http://img.gansulong.com/220813/05220A143-1.jpg)
文章插图
《测圆海镜》此外,在中国古代数学的发展中,天元术起着重要的作用 。在《测圆海镜》问世之前,我国虽有文字代表未知数用以布列方程和多项式的工作,但是没有留下很有系统的记载 。李冶在《测圆海镜》中系统而概括地总结了天元术,使文词代数开始演变成符号代数 。所谓天元术,就是设“天元一”为未知数,根据问题的已知条件,列出两个相等的多项式,经相减后得出一个高次方程式,称为天元开方式,这与现代设x为未知数列方程一样 。欧洲的数学家,只有到了16世纪以后才完全作到这一点 。《测圆海镜》全书170 题,基本上都是(依据《识别杂记》)列出天元式,求出勾股容圆问题的解 。李冶在40岁时便放弃功名,终生从事数学研究 。他反对象数神秘主义,认为数学来自客观的自然界,这些观点反映在他自己写的“《测圆海镜》”序中,这在当时是十分可贵的,也是他在数学上取得重大成就的主要因素之一 。清代阮元认为《测圆海镜》是“中土数学之宝书”,李善兰称讚它是“中华算书实无有胜于此者” 。《测圆海镜》不仅保留了洞渊九容公式,即9种求直角三角形内切圆直径的方法,而且给出一批新的求圆径公式 。卷一的"识别杂记"阐明了圆城图式中各勾股形边长之间的关係以及它们与圆径的关係,共六百余条,每条可看作一个定理(或公式),这部分内容是对中国古代关于勾股容圆问题的总结 。后面各卷的习题,都可以在“识别杂记”的基础上以天元术为工具推导出来 。李冶总结出一套简明实用的天元术程式,并给出化分式方程为整式方程的方法 。他发明了负号和一套先进的小数记法,採用了从零到九的完整数码 。除O以外的数码古已有之,是筹式的反映 。但筹式中遇O空位,没有符号O 。从现存古算书来看,李冶的《测圆海镜》和秦九韶《数书九章》是较早使用O的两本书,它们成书的时间相差不过一年 。《测圆海镜》重在列方程,对方程的解法涉及不多 。但书中用天元术导出许多高次方程(最高为六次),给出的根全部準确无误,可见李冶是掌握高次方程数值解法的 。《测圆海镜》数学上的成就有三点:“天元术”,即列方程解决问题的一种“机械化”程式,相当于现代设x为未知数列方程的方法,这是一项具有世界意义的创举;勾股形解法,把传统的勾股形研究推进到一个新的层次;数学抽象化的新起点:此书虽然形式上仍採用问题集的表述方式,但问题显然已不是从实际生活中得来的,而是出于数学研究的需要产生的,只是出于传统,披上了“实用”的外衣,这对中国古代数学无疑是一种重要的突破和补充,就内容看,给出了一些专门的概念和公式(“识别杂记”),採用了演绎推理的方法等,在中国数学思想发展中占有重要的地位 。作者简介李冶(1192-1279)是中国古代数学家,字仁卿,号敬斋,真定府栾城县(今河北省栾城县)人,宋元数学四大家之一 。李冶生于大兴(今北京市大兴县),父亲李通为大兴府推官 。李冶自幼聪敏,喜爱读书,曾在元氏县(今河北省元氏县)求学,对数学和文学都很感兴趣 。《元朝名臣事略》中说:“公(指李冶)幼读书,手不释卷,性颖悟,有成人之风 。”李冶一生着作虽多,但他最得意的还是《测圆海镜》.他在弥留之际对儿子克修说:“吾平生着述,死后可尽燔去.独《测圆海镜》一书,虽九九小数,吾常精思致力焉,后世必有知者.庶可布广垂永乎?”李冶的数学研究是以天元术为主攻方向的.这时天元术虽已产生,但还不成熟,就像一棵小树一样,需要人精心培植.李冶用自己的辛勤劳动,使它成长为一棵枝叶繁茂的大树.李冶作为一个有成就的数学家,在治学态度方面,具有与古往今来的科学家所共有的精神,也有其独特之点:1.在极端艰苦的条件下坚持科学研究,从不间断自己的工作 。李冶处在一个动荡不定的时代,特别是弃官隐居以后,从事科学研究的环境是十分艰苦的,常常饑寒至不能自存,但仍处之泰然,以讲学着书为乐 。对于数学研究,他也是下过苦功的,他在病危时对其子克修说:“测圆海镜一书,虽九九小数,五常精思致力焉,后世必有知者” 。2.坚持科学真理,不为闲言蜚语所动摇数学研究在当时社会是被轻视的,李冶的工作很少得到当时学者的理解 。《测圆海镜》和《益古演段》两书,是在他逝世后三十年才得以付印的 。3.善于接受前人知识,取其精华 。有人问学于李冶,李冶回答说:“学有三:积之之多不若取之之精,取之之精不若得之之深” 。这就是说,要去其糟粕,取其精华,并使它成为自己的东西 。4.反对文章的深奥化和庸俗化,主张文章是为别人,而不是为自己 。李冶在《益古演段》序中说:“今之算者,未必有刘(徽)李(淳风)之工,而编心踞见,不肯晓然示人唯务隐互错揉故为溪滓黯哭,唯恐学者得窥其仿佛也 。”他的《益古演段》就是这种主张下的着作 。纵观李冶一生,不管是在为人上还是在学术上,都不愧为一代楷模.他在任钧州知事期间,为官清廉、正直,亲自掌管出纳,一丝不苟.据载,钧州城的出纳“无规撮之误”.在当时动乱的环境中,像李冶这样的清官确实是难能可贵的.李冶在《敬斋古今黈》中说:“好人难做须着力”,又说:“着力处政是圣贤阶级”,这正是他为人做官的写照.他同情人民,面对蒙古军队的屠杀和抢掠,不仅在诗文中表现了极大的愤慨,而且在见忽必烈时,力劝蒙古统治者“止征伐”.他一生热爱科学,追求自由,决不负辱求名.在学术上不迷信名家,敢于突破传统观念的束缚.他虽是通儒出身,但当他认识到数学的重要性时,便专攻数学,这种行动本身就是对传统儒学的批判,因为在儒家看来,数学“可以兼明,不可以专业”.当时盛行的新儒学——程朱理学,甚至把研究科技看作“玩物丧志”,把数学说成“九九贱技”.李冶毫不客气地批评了这些错误观点,指出在朱熹的着述中“窒碍之处亦不可以毛举也”.值得注意的是,李冶的思想深受道家影响.道家崇尚自然,这无疑是有利于把人们的眼光引向自然科学的.庄子的自然观甚至成为李冶抵制唯心主义理学的思想武器.他说:“由技兼于事者言之,夷之礼,夔之乐,亦不免为一技;由技进乎道者言之,石之斤,肩之轮,非圣人之所与乎?”(夷,黄帝臣名;夔,舜臣名.石,扁,均为古工匠名)这就是说,从技艺用于实际来说,圣人所作的礼和乐也可看作一种技艺;从技艺中包含自然规律(即“道”)来说,工匠使用的工具也是圣人所讚赏的.如果我们把李冶的话同庄子所说的“道者,万物之所由也.……道之所在,圣人尊之”联繫起来,李冶受庄子思想的影响是一目了然的.很明显,他认为数学这种技艺也是“道之所在”,也应受到尊重. 李冶还认为,数虽奥妙无穷,却是可以认识的,他说:“谓数为难穷,斯可;谓数为不可穷,斯不可.何则?彼其冥冥之中,固有昭昭者存.夫昭昭者,其自然之数也.非自然之数,其自然之理也.”李冶的这一思想,也可以从老庄学说找到渊源.庄子说:“夫昭昭生于冥冥,有伦生于无形.”老子说:“人法地,地法天,天法道,道法自然”,“道之尊,德之贵,夫莫之命而常自然.”正是由于对自然的深刻理解,李冶进一步指出:“数一出于自然,吾欲以力强穷之,使隶首复生,亦末如之何也已.苟能推自然之理,以明自然之数,则虽远而乾端坤倪,幽而神情鬼状,未有不合者矣.”李冶不仅有比较先进的哲学思想,而且能在极为艰苦的条件下进行顽强的科学研究.他在桐川着书时,居室十分狭小,甚至常常不得温饱,要为衣食而奔波.但他却以着书为乐,从不间断自己的工作.他的学生焦养直说他“虽饑寒不能自存,亦不恤也”,在“流离顿挫”中“亦未尝一日废其业”,“手不停披,口不绝诵,如是者几五十年”.另外,他还善于去粗取精,批判地接受前人知识,正如他自己所说:“学有三,积之之多不若取之之精,取之之精不若得之之深.”这些优良品质,都是李冶在学术上取得杰出成就的重要原因.李冶时代,数学不受重视.但李冶却执着地追求真理,他在《测圆海镜序》中说:“览吾之编,察吾苦心,其悯或者当百数,其笑我者当千数.乃若吾之所得则自得焉耳,宁复为人悯笑计哉?”李冶不仅学术精深,而且致力于传徒授业,对学生循循善诱.后人盛讚李冶“导掖其秀民,仁之至也.其徒卒昌于时,孰不曰文正公所作成也”(文正为李冶谥号).李冶以自己的毕生心血,在中国科学史上写下了光荣的一页,被人们深深怀念着.第一卷《测圆海镜》由卷一的圆城图式、说明各个长度名称的总率名号、给出各个长度数值的今问正数、囊括了各个量之间关係的公式总集识别杂记;卷二至卷十二,共一百七十个问题及其解答所组成 。书中一共有148问,182种方法是以天元术列出方程以求解,其中列出一次方程31个,二次方程106个,三次方程24个,四次方程20个,六次方程1个第一卷圆城图式圆城图式(右图)是全书的总括图解,由一个直角三角形(古时称为勾股形)、它的内切圆以及一些特定的点和直线组成 。其中的顶点、圆心和交点都用某个汉字来指代 。最大的三角形的三个顶点分别是天、地、乾,天地乾三角形的内切圆圆心称为心 。过心的垂直线从上至下分别和三角形、内切圆交于日、南、北三点 。过心的水平线从左至右分别和三角形、内切圆交于川、东、西三点 。过东的垂直线和过南的水平线都是内切圆的切线,它们分别交天地乾三角形于艮、坤、山、月四点,而相交于巽点 。乾坤巽艮构成一个正方形 。过月的垂直线交东西水平线于青点,交地乾边于泉点 。过山的水平线交南北垂直线于朱点,交天乾边于金点 。而这两条线相交于泛点 。最后过日的水平线交天乾边于旦点,过川的垂直线交地乾边于夕点 。总共22个点 。总率名号全书所研究的三角形一共有15个,全部是以天地线之间的线段为弦(斜边)的直角三角形 。总率名号给出了这些三角形和线段的名称 。它们分别是: