数学学科概念变分法( 二 ) _生活百科

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固定两个端点，在泛函S取到极值时的函式记作g(x)，定义与这个函式“靠近”的一个函式，h(x)=g(x)+δg(x)，其中δg(x)在从x1到x2上都是小量，同时也满足，

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这里δg(x)称为函式g(x)的变分。因为在从任何函式代替g(x)都会使得泛函S取不到极值，所以用h(x)代替g(x)使得作用量产生了增量，为，

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将第一项

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按照δg(x)和δg'(x)幂级数打开，并且注意到δg(x)和δg'(x)永远是小量，捨弃掉二次项及以上高次项，可得关于δg(x)和δg'(x)一次项的和。则S取到极值的必要条件就是这些项的和的值为0.这些和称之为S的一阶变分（或者简称变分），变分为0记作，

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按照幂级数打开后，可以得到，

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将第二项分部积分得：

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由于

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，于是第一项等于0，换而言之，就是这个等式成立，

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于是对任何小的函式δg(x)该积分都等于0，于是只有被积函式等于0的时候才有可能。（这个论断是不严谨的，这里应该由Du Bois Reymond 引理给出）于是我们得到方程，

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这就是E-L方程。在力学上，这里的g用任何一个广义坐标q表示，x用t代替，而L(拉格朗日量)=T(动能)-V(势能)，那幺拉格朗日方程则为，

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物理学套用物理学中泛函极值问题的提出促进了变分学的建立和发展，而变分学的理论成果则不断渗透到物理学中。费马原理费马原理指出：光沿所需时间为极值(极大值、恆值、极小值)的路径传播。假设 y=f(x) 为光的路径，则光程可以下式表示：

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其中折射率n(x,y) 依材料特性而定。若选择

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,则A的一阶导数 (A对ε的微分)为

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将括弧中的第一项用分部积分处理，可得欧拉-拉格朗日方程

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光线的路径可由上述的积分式而得。这可以看作上面E-L方程的特例。大範围变分法18世纪是变分法的草创时期，建立了极值应满足的欧拉方程并据此解决了大量具体问题。19世纪人们把变分法广泛套用到数学物理中去，建立了极值函式的充分条件。20世纪伊始，希尔伯特在巴黎国际数学家大会讲演中提到的23个着名数学问题中就有三个与变分法有关，变分法的思想贯穿了R.库朗和希尔伯特所着的《数学物理方法》一书。而H.M.莫尔斯的大範围变分法则是20世纪变分法发展的标誌(见莫尔斯理论) 。物理学中的变分原理P. de费马从欧几里得确立的光的反射定律出发提出了光的最小时间原理：光线永远沿用时最短的路径传播。他原先怀疑光的折射定律，但在1661年费马发现从他的光的最小时间原理能够推导出折射定律，不仅消除了早先的怀疑，而且更加坚信他的原理。拉格朗日把变分法用到动力学上。他引进广义坐标q1,q2,…,qn，动能T是 q'=(q'1,q'2,…,q'n)的函式,q'表示广义速度。他又假定力有位势V，V是q的函式,又假定T+V是常量,即系统无耗散,令L=T-V，称为作用量，拉格朗日的最小作用原理是说真实的运动使作用量取极小值。通过欧拉方程，拉格朗日建立他的运动方程，据此推出了力学的主要定律，并解决了一些新的问题。这些工作都记载在他在1788年出版的《分析力学》一书中。量子力学变分法在量子力学中主要解决基态能量和波函式问题。经济学套用变分法用于求解经济学中的动态最优问题，即给定目标函式和约束条件的情况下，求解使得目标函式维持最优状态的控制变数函式，也叫作“古典变分法” 。下述两个问题都可以通过变分法解决，即通过欧拉方程得出其一阶条件。拉姆齐模型（动态）Max U=∫EXP(-rt)U(C(t))dt （积分区域为(0,T)）s.t. iK(t)+W(t)=C(t)+K*(t)（i是无风险收益率，W是工资，K*(t)是K(t)的变动率）K(0)=K0，K(T)=KT （终结线）乔根森模型（企业投资的最优路径）Max V(K)=∫EXP(-ρt)(PQ(K)-mI)dt （积分区域为(0,∞)）s.t. I=K*+δK （投资I=资本变动K*+折旧δK）变分法与微分法变分法概念与寻常分析中的微分概念很为类似，但所联繫的不是x的变化，而是函式y（x）的变化。如果函式y（x）使U（y）达其极值，则U的变分δU变为0 。几乎所有的物理和力学的基本规律都陈述为规定某一泛函的变分应该是0的“变分法原理”，由于这个原故变分法使许多重要的物理问题及技术问题得以解决。

数学学科概念 变分法( 二 )

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